Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

• обобщить и систематизировать знания по теме “Уравнения”;
• способствовать развитию логического мышления и речи учащихся.

Технические средства обучения: мультимедийный проектор.

Ход урока

1. Домашнее задание: п. 6, № 113, 117, 120.

2. Математический диктант (под копирку).

Дети сдают диктанты, обмениваются тетрадями, проверяют друг у друга работы. Ответы проецируются на доску.

3. Сообщение темы урока.

Каким было последнее задание в диктанте? (Решить уравнение).

Учиться решать уравнения вы начали ещё в начальных классах. С этой темой мы встречались в 5 и 6 классах, узнавая каждый раз что – то новое об уравнениях. Задачей нашего сегодняшнего урока является обобщение и систематизация знаний об уравнениях.

4. Изучение нового материала (с применением компьютерной презентации).

1) – Запишите тему нашего урока “Уравнение и его корни”. (Слайд 1)

2) – Давайте постараемся дать определение уравнению. Что же это такое? (Слайд 2)

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным.

3) Помня определение уравнения, определите, является ли данная запись уравнением:

а) х + 2 = 1,3;

г) 16 * 5 – 8 = 72;

д) 1.5 х + 2.8 = 5,8. (Слайд 3)

Дети объясняют свои ответы, подчёркивая, является ли данная запись равенством и содержит ли она переменную.

4) - Вспомните, пожалуйста, что называют корнем уравнения.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Проверим ваши ответы. (Слайд 4)

5) – Как узнать, является ли данное число корнем уравнения или нет? (Надо подставить число в уравнение вместо переменной, посмотреть, обратится ли при этом уравнение в верное равенство или нет.)

Выясните, является ли число 2 корнем уравнения:

а) 4 + 3х = 10;

б) (х – 5)(х + 1) = 11;

в) 6(3х – 1) = 12х + 6. (Слайд 5)

Учащиеся подставляют число 2 в каждое уравнение, проверяя, обращает ли оно данное уравнение в верное равенство. Делают соответствующий вывод.

6) – Следующее задание выполним письменно.

Определите, какие из чисел – 2, - 1, 0, 2, 3 являются корнем уравнения х 2 + 3х = 10. (Слайд 6)

Задание выполняется учащимися в тетради. Некоторые ученики по очереди делают соответствующие записи на доске.

Образец выполнения задания:

Корнем уравнения х 2 + 3х = 10 число

а) -2 не является, так как (-2) 2 + 3 * (-2) = 4 – 6 = - 2, а -2 10;

б) – 1 не является, так как (- 1) 2 + 3 * (- 1) = 1 – 3 = -2, а – 2 10;

в) 0 не является, так как 0 2 + 3 * 0 = 0, а 0 10;

г) 2 является, так как 2 2 + 3 * 2 = 4 + 6 = 10, а 10 = 10;

д) 3 не является, так как 3 2 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18, а 18 10.

7) Физ. пауза.

А теперь немного отдохнём. Сядьте удобно.

1. Делаем вертикальные движения глазами вверх – вниз.

2. Горизонтальные движения глазами вправо – влево.

3. “Нарисуем глазами линию” (на плакате изображено несколько линий, дети “ведут” по ним глазами от точки до точки).

Следующие упражнения выполняем стоя.

4. – Поднимаем сначала правое плечо вверх, потом левое, опускаем сначала правое плечо, потом левое. Так продолжаем поочерёдно.

5. “Роняем руки”.

6. “Стряхиваем воду с кистей рук”.

Постарайтесь сами составить уравнение, корнем которого было бы число 3. (Слайд 7)

После самостоятельного выполнения задания некоторые учащиеся зачитывают получившиеся у них уравнения, класс определяет, правильно ли выполнено задание.

9) – Как вы думаете, что значит решить уравнение?

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что корней нет. (Слайд 8)

10) – Какие из данных уравнений не имеют корней:

б) 4(х + 1) = 4х +7;

в) 3х + 12 = 3(х + 4). (Слайд 9)

Дети дают ответы, обосновывая их.

11) – Что называется модулем числа?

Чему равен модуль положительного числа?

Модуль нуля? Отрицательного числа?

Может ли модуль числа равняться отрицательному числу?

Как вы думаете, имеют ли данные уравнения корни и, если имеют, то сколько:

в) l х l = - 1;

г) l х l = 2,5. (Слайд 10)

12) – Сегодня мы знакомимся с новым для вас понятием – это равносильные уравнение. Попробуйте догадаться, какие же уравнения называются равносильными.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями. (Слайд 11)

13) – Какое уравнение равносильно уравнению 3х – 10 = 50? (Слайд 12)

Учащиеся составляют уравнения, равносильные данному, записывают их в тетрадь, некоторые из составленных уравнений зачитываются и обсуждаются классом.

14) – При решении уравнений используются свойства, которые мы с вами учили в 6 классе. Давайте их вспомним. (Слайд 13)

1) Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

15) – Замените уравнения равносильными уравнениями с целыми коэффициентами:

а) 0,1х = - 5;

б) – 0,19 у = 3;

в) - 0,7х = - 4,9. (Слайд 14)

Замените уравнения равносильными уравнениями вида ах = b:

а) 8х + 15 = 39;

б) 16 – 2х = 10. (Слайд 15)

5. Подведение итогов урока . (Слайд 16)

Дайте определение уравнения с одной переменной.

Что называют корнем уравнения?

Все ли уравнения имеют корни?

Что значит решить уравнение?

Какие уравнения называются равносильными?

Назовите свойства, которые используются при решении уравнений.

Использованная литература.

Учебник “Алгебра. 7 класс” под редакцией С. А. Теляковского, Москва “Просвещение”, 2009 год.

Урок алгебры в 7 классе.
Разные уравнения уже давно и неоднократно тебе встречались, о корнях ты тоже кое-что знаешь: они есть у большинства растений. Но уравнения из курса математики не имеют отношения к растениям и их корням.
http://http://сайт//video/uravnenie_i_ego_korni_

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами. Такие неизвестные числа в уравнении называются переменными.

Предлагаю тебе несколько примеров уравнений.

Во всех примерах – уравнения с одной переменной, х или у. Бывают и уравнения с двумя переменными: 4х – 2у = 1, но наш урок посвящен уравнениям с одной перем.

Сначала остановимся на уравн 13х – 30 = 7х. Тут есть одна перемх ,хоть и записана она дважды, а в букв выраж между буквой и числом подразумевается знак умножения.

Корень уравнения – это число, которое обращает уравнение в верное рав-во.

В следующем урав использована перем у . Тебе хорошо знакомы такие уравн.

Прейдем к уравнению х(х — 6)(х — 12) = 0, оно имеет 3 корня, так как число х можно заменить одним из трех чисел, чтобы получить верное равенство:

И в таком случае записывают: х 1 =0, х 2 = 6, х 3 =12 – Корень уравнения.

А других корней нет, потому что произведение может быть равно нулю только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю.

Уравн х + 2 = х не имеет корней, потому что при любом значении переменной в правой части рав-ва окажется число, которое на 2 меньше, чем стоящее в его левой части, а такие числа не могут быть равны.

И последнее из записанных уравнений:0 ∙ у = 0 . Любое из известных тебе чисел обратит это уравнение в верноерав-во, поэтому говорят, что это уравнение имеет бесконечно много корней.

Уравн – это пример, который нужно решать. Теперь еще одно определение: Решить уравн – значит найти все его корни, или доказать, что их нет. Подчеркнем тут слово «все» и оборот «доказать, что их нет» и запомни, что иногда уравнение может иметь несколько корней, иметь бесконечно много корней, или не иметь их вовсе.

Применим теперь полученные знания к решению примеров.

Пример 1 Какие из записей являются уравнениями?

Пример 2 . Для каких уравнений число 3 — Корень уравнения?(Предложены 4 урав)

Выполняем проверку. . . . . .

Это были устные примеры, а вот теперь несколько письменных

Пример 3 Запишите уравн, которое имеет заданные корни: — и два разных условия. В первом условии – один корень, а во втором – два корня.

С одним корнем проще: запишем любой пример, можно даже в несколько действий, лишь бы одним из компонентов действ был указанный корень. Выполним действия и после знака «=» запишем ответ. А теперь в этом примере заменим число-корень любой выбранной буквой.

Перейдем к двум корням. Вспомни уравнение, в котором было 3 корня. В этом уравнении 3 множителя. А поскольку в задании только 2 корня, то мы, по аналогии, составим уравнение, состоящее из двух множителей.

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Определение 1

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6: x = 3 .

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · (x − 1) = 19 , x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · (8 + 1) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · (x + 17) .

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Определение 2

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Определение 3

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0 , 6) 2 = 26 .

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Пример 1

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Определение 4

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Пример 2

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Пример 3

Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня ­­– три и минус три, в x · (x − 1) · (x − 2) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня - 2 , 1 и 5 , то пишем - 2 , 1 , 5 или { - 2 , 1 , 5 } .

Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых ­– Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Определение 5

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Пример 4

Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как (3 , 4) .

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Тема урока: «Уравнение и его корни.»

Класс 7

Учитель математики: Кобыза Татьяна Васильевна

Цели:

Образовательные . Дать ученикам понятие о уравнении и его корнях; углубление навыков применения свойств решения уравнений.

Развивающие. Продолжать формирование элементов алгоритмической культуры, развивать логическое мышление, память, формировать грамотную математическую речь, способность к анализу и самооценке.

Воспитательные . Продолжить формирование коммуникабельности, толерантности, ответственности за свои суждения.

Предполагаемые цели ученика: вспомнить из 6 класса решение уравнений с помощью свойств; понять связь между типом простейшего уравнения и его корнем, научиться решать равносильные уравнения.

Технические средства обучения : мультимедийный проектор, раздаточный материал.

Ход урока

Организация начала урока.

Целеполагание.

2. Математический диктант

Закончите предложение: “Выражение 2х – 5 является …” (буквенным/числовым)

Числовое выражение-это запись состоящая из______________________________________________________

Алгебраическое выражение-это запись состоящая из______________________________________________________

Составьте выражение по условию задачи: “Карандаш стоит х рублей, а блокнот - 25 рублей. Сколько стоят 3 карандаша и 1 блокнот ? (3х + 25 / х + +225)

Решите уравнение

5х – 4 = 6

(х = 2)

Задания, приведённые в квадратных скобках, предназначены для второго варианта.

3. Сообщение темы урока.

Каким было последнее задание в диктанте? (Решить уравнение).

Учиться решать уравнения вы начали ещё в начальных классах. С этой темой мы встречались в 5 и 6 классах, узнавая каждый раз что – то новое об уравнениях. Задачей нашего сегодняшнего урока является обобщение и систематизация знаний об уравнениях.

4. Изучение нового материала (с применением компьютерной презентации).

– Откройте тетради и запишите тему нашего урока “Уравнение и его корни”. (Слайд 1)

– Давайте постараемся дать определение уравнению. Что же это такое? (Слайд 2)

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным.

3) Помня определение уравнения, определите, является ли данная запись уравнением:

а) х + 2 = 1,3;

б) 3у – 4;

в) х = - 8,1;

г) 16 * 5 – 8 = 72;

д) 1.5 х + 2.8 = 5,8. (Слайд 3)

Дети объясняют свои ответы, подчёркивая, является ли данная запись равенством и содержит ли она переменную.

4) - Вспомните, пожалуйста, что называют корнем уравнения.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Проверим ваши ответы. (Слайд 4)

5) – Как узнать, является ли данное число корнем уравнения или нет? (Надо подставить число в уравнение вместо переменной, посмотреть, обратится ли при этом уравнение в верное равенство или нет .)

Выясните, является ли число 2 корнем уравнения:

а) 4 + 3х = 10;

б) (х – 5)(х + 1) = 11;

в) 6(3х – 1) = 12х + 6. (Слайд 5)

Учащиеся подставляют число 2 в каждое уравнение, проверяя, обращает ли оно данное уравнение в верное равенство. Делают соответствующий вывод.

6) – Следующее задание выполним письменно.

Определите, какие из чисел – 2, - 1, 0, 2, 3 являются корнем уравнения х2 + 3х = 10. (Слайд 6)

Задание выполняется учащимися в тетради. Некоторые ученики по очереди делают соответствующие записи на доске.

Образец выполнения задания:

Корнем уравнения х2 + 3х = 10 число

а) -2 не является, так как (-2)2 + 3 * (-2) = 4 – 6 = - 2, а -2 10;

б) – 1 не является, так как (- 1)2 + 3 * (- 1) = 1 – 3 = -2, а – 2 10;

в) 0 не является, так как 02 + 3 * 0 = 0, а 0 10;

г) 2 является, так как 22 + 3 * 2 = 4 + 6 = 10, а 10 = 10;

д) 3 не является, так как 32 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18, а 18 10.

7) Физ. пауза.

А теперь немного отдохнём. Сядьте удобно.

Рисуй глазами треугольник.

Теперь его переверни

Вершиной вниз.

И вновь глазами

Ты по периметру веди.

Рисуй восьмерку вертикально.

Ты головою не крути,

А лишь глазами осторожно

Ты вдоль по линиям води.

И на бочок ее клади.

Теперь следи горизонтально,

И в центре ты остановись.

Зажмурься крепко, не ленись.

Глаза открываем мы, наконец

Зарядка окончилась.

Ты – молодец!

Постарайтесь сами составить уравнение, корнем которого было бы число 3. (Слайд 7)

После самостоятельного выполнения задания некоторые учащиеся зачитывают получившиеся у них уравнения, класс определяет, правильно ли выполнено задание.

9) – Как вы думаете, что значит решить уравнение?

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что корней нет. (Слайд 8)

10) – Какие из данных уравнений не имеют корней:

а) 3х = 5х;

б) 4(х + 1) = 4х +7;

в) 3х + 12 = 3(х + 4). (Слайд 9)

Дети дают ответы, обосновывая их.

11) – Что называется модулем числа?

Чему равен модуль положительного числа?

Модуль нуля? Отрицательного числа?

Может ли модуль числа равняться отрицательному числу?

Как вы думаете, имеют ли данные уравнения корни и, если имеют, то сколько:

а) l х l = 7;

б) l х l = 0;

в) l х l = - 1;

г) l х l = 2,5. (Слайд 10)

12) – Сегодня мы знакомимся с новым для вас понятием – это равносильные уравнение . Попробуйте догадаться, какие же уравнения называются равносильными.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями. (Слайд 11)

13) – Какое уравнение равносильно уравнению 3х – 10 = 50? (Слайд 12)

Учащиеся составляют уравнения, равносильные данному, записывают их в тетрадь, некоторые из составленных уравнений зачитываются и обсуждаются классом.

14) – При решении уравнений используются свойства, которые мы с вами учили в 6 классе. Давайте их вспомним. (Слайд 13)

1) Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

15) – Замените уравнения равносильными уравнениями с целыми коэффициентами:

а) 0,1х = - 5;

б) – 0,19 у = 3;

в) - 0,7х = - 4,9. (Слайд 14)

Замените уравнения равносильными уравнениями вида ах = b:

а) 8х + 15 = 39;

б) 16 – 2х = 10. (Слайд 15)

5. Подведение итогов урока. (Слайд 16)

Дайте определение уравнения с одной переменной.

Что называют корнем уравнения?

Все ли уравнения имеют корни?

Что значит решить уравнение?

Какие уравнения называются равносильными?

Назовите свойства, которые используются при решении уравнений.

Домашнее задание.

В предложенном видео речь идет о понятии уравнения и его корнях. Для начала рассмотрена задача о гусях. В задаче стая гусей отвечает гусю, что если бы их было столько, сколько сейчас, да еще столько, да еще полстолька, да еще четверть столько, да еще он, то их было бы сто гусей. Вопрос: Сколько гусей в стае?

Неизвестное число гусей в стае обозначили через Х.

В результате получили: Х + Х +1/2Х+ 1/4Х + 1 = 100.

В этом равенстве присутствует неизвестная нам величина Х, значение которой мы ищем. Это значение мы можем найти из составленного нами равенства. Подобные равенства называют уравнениями с одной переменной, или уравнениями с одним неизвестным.

Искомую неизвестную величину принято обозначать буквой Х, хотя можно обозначать любой буквой. Впервые неизвестную величину обозначил буквой и составил уравнение в явном виде с неизвестным древнегреческий математик Диофант в своем труде «Арифметика».

В составленном уравнении необходимо найти такое значение переменной, которое превращает уравнение в правильное числовое равенство. Такое значение неизвестной называют корнем уравнения.

Делаем вывод, что корнем уравнения называется значение переменной, превращающее уравнение в верное числовое равенство. Решить уравнение означает найти множество его корней, число которых может быть различным. Корень может быть один, их может быть несколько, а может и не быть ни одного. В конечном итоге, чтобы решить уравнение, необходимо определить все его корни или убедиться, что у уравнения нет корней.

Количество корней уравнения может быть разным в зависимости от вида уравнения. В некоторых случаях и число может быть бесконечным, а может быть равно нулю. Для убедительности автор предлагает рассмотреть примеры уравнений, которые имеют разное количество корней. Это уравнения Х + 1 = 6, (Х - 1)(Х - 5)(Х - 8) = 0, Х = Х + 4, 3(Х + 5) = 3Х + 15. В первом случае корень один, так как только в случае, когда Х = 5, уравнение становится верным числовым равенством 6 = 6. Второе уравнение имеет три корня. Это числа 1, 5, 8. Именно при этих значениях переменной выражения в скобках по очереди принимают значение 0. При умножении на 0 все выражение становиться равным 0. Получаем равенство 0 = 0. Третье уравнение не имеет корней, потому что при любом значении Х правая часть принимает значение больше, чем левая. Четвертое уравнение в свою очередь имеет бесконечное число корней в силу применения сочетательного свойства умножения. После раскрытия скобок и левая, и правая части уравнения имеют одинаковый вид: 3Х + 15 = 3Х = 15.

Далее автор вводит понятие допустимых значений неизвестного. Для этого рассматриваются уравнения 17 - 3Х = 2Х - 2 и (25 - Х)/(Х - 2) = Х + 9. Если в первом случае неизвестное Х может принимать любые значения, то во втором при Х = 2 получаем деление на 0. Следовательно, значения переменной, которые можно подставлять в уравнение в первом случае все числа, а во втором - все числа, кроме 2.

Область определения уравнения - это множество значений переменно, при которых обе части уравнения имеют смысл.

После этого вводится понятие равносильности уравнений. Рассматриваются уравнения Х 2 = 36 и (Х - 6)(Х + 6) = 0. У этих уравнений одинаковые корни; такие уравнения принято называть равносильными.

При решении уравнений их заменяют равносильными уравнениями, но более простыми по форме. Необходимо помнить некоторые правила замены уравнения на равносильное уравнение. Во время переноса слагаемого через знак равенства знак слагаемого меняем на противоположный. При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, неравное 0, уравнение останется равносильным. Можно выполнять тождественные преобразования, если они не влияют на область определения уравнения.