Вам кажется, что до экзамена еще много времени? Это месяц? Два? Год? Практика показывает, что ученик лучше всего справляется с экзаменом в том случае, если начал готовиться к нему заблаговременно. В ЕГЭ немало сложных заданий, который стоят на пути школьника и будущего абитуриента к высшим баллам. Эти преграды нужно научиться преодолевать, к тому же, делать это несложно. Вам необходимо понять принцип работы с различными заданиями из билетов. Тогда и с новыми не возникнет проблем.

Логарифмы на первый взгляд кажутся невероятно сложными, но при детальном разборе ситуация значительно упрощается. Если вы хотите сдать ЕГЭ на высший балл, вам стоит разобраться в рассматриваемом понятии, что мы и предлагаем сделать в этой статье.

Для начала разделим эти определения. Что такое логарифм (log)? Это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить указанное число. Если непонятно, разберем элементарный пример.

В этом случае основание, стоящее внизу, необходимо возвести во вторую степень, чтобы получить число 4.

Теперь разберемся со вторым понятием. Производная функции в любом виде называется понятие, характеризующее изменение функции в приведенной точке. Впрочем, это школьная программа, и если вы испытываете проблемы с данными понятиями по отдельности, стоит повторить тему.

Производная логарифма

В задания ЕГЭ по этой теме можно привести несколько задач в качестве примера. Для начала самая простая логарифмическая производная. Необходимо найти производную следующей функции.

Нам нужно найти следующую производную

Существует специальная формула.

В этом случае x=u, log3x=v. Подставляем значения из нашей функции в формулу.

Производная x будет равняться единице. С логарифмом немного труднее. Но принцип вы поймете, если просто подставите значения. Напомним, что производной lg x называется производная десятичного логарифма, а производная ln х — это производная от натурального логорифма (по основанию e).

Теперь просто подставьте полученные значения в формулу. Попробуйте сами, далее сверим ответ.

В чем здесь может быть проблема для некоторых? Мы ввели понятие натурального логарифма. Расскажем о нем, а заодно разберемся, как решать задачи с ним. Ничего сложного вы не увидите, особенно, когда поймете принцип его работы. К нему вам стоит привыкнуть, так как он нередко используется в математике (в высших учебных заведениях тем более).

Производная натурального логарифма

По своей сути, это производная логарифма по основанию e (это иррациональное число, которое равняется примерно 2,7). На деле ln очень прост, поэтому часто используется в математике в целом. Собственно, решение задачи с ним тоже не станет проблемой. Стоит запомнить, что производная от натурального логарифма по основанию е будет равно единице поделенной на x. Самым показательным будет решение следующего примера.

Представим ее как сложную функцию, состоящую из двух простых.

Достаточно преобразовать

Ищем производную от u по x

При дифференцировании показательно степенной функции или громоздких дробных выражений удобно пользоваться логарифмической производной. В этой статье мы рассмотрим примеры ее применения с подробными решениями.

Дальнейшее изложение подразумевает умение пользоваться таблицей производных , правилами дифференцирования и знание формулы производной сложной функции .

Вывод формулы логарифмической производной.

Сначала производим логарифмирование по основанию e , упрощаем вид функции, используя свойства логарифма, и далее находим производную неявно заданной функции:

Для примера найдем производную показательно степенной функции x в степени x .

Логарифмирование дает . По свойствам логарифма . Дифференцирование обеих частей равенства приводит к результату:

Ответ: .

Этот же пример можно решить и без использования логарифмической производной. Можно провести некоторые преобразования и перейти от дифференцирования показательно степенной функции к нахождению производной сложной функции:

Пример.

Найти производную функции .

Решение.

В этом примере функция представляет собой дробь и ее производную можно искать с использованием правил дифференцирования. Но в силу громоздкости выражения это потребует множества преобразований. В таких случаях разумнее использовать формулу логарифмической производной . Почему? Вы сейчас поймете.

Найдем сначала . В преобразованиях будем использовать свойства логарифма (логарифм дроби равен разности логарифмов, а логарифм произведения равен сумме логарифмов, и еще степень у выражения под знаком логарифма можно вынести как коэффициент перед логарифмом):

Эти преобразования привели нас к достаточно простому выражению, производная которого легко находится:

Подставляем полученный результат в формулу логарифмической производной и получаем ответ:

Для закрепления материала приведем еще пару примеров без подробных объяснений.

Пример.

Найдите производную показательно степенной функции

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.